中考数学压轴题，抛物线上的阿氏圆问题，设计得挺好的

wy168 发表于 2022-10-26 16:24:06

今天老黄分享的是一道集合了抛物线，平行四边形，矩形，子母型相似三角形以及阿氏圆知识的中考数学压轴题。题目虽然并不特别难，但还是蛮复杂的。我们一起来看看题目吧！
如图，抛物线y=-x^2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4), B(0,4)两点，直线AC：y=-x/2-6交y轴于点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G。
(1)求抛物线y=-x^2+bx+c的表达式；
(2)连接GB, EO, 当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
(3)①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A, E, F, H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E, H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM/2+CM的最小值。
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可以先求直线AB的解析式，以便表示出E点的坐标，因为后面有两小题需要用到它。
解：设直线AB的解析式为：y=kx+4，代入A(-4,-4), 得-4=-4k+4, 解得k=2,
 ∴直线AB的表达式为：y=2x+4, 设E(e,2e+4), 则F(e,-e/2-6),
(1)将A(-4,-4)代入y=-x^2+bx+4, 得：-16-4b+4=-4, 解得b=-2,
∴抛物线的表达式为：y=-x^2-2x+4.
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(2)【因为GE//BO, 所以只要GE=BO，就符合“有一组对边平行且相等”的平行四边形判定条件，而GE等于两点纵坐标的差，BO=4】
G(e, -e^2-2e+4),
当四边形GEOB是平行四边形时，GE=BO，即
(-e^2-2e+4)-(2e+4)=-e^2-4e=4，解得e=-2,
又-e^2-2e+4=4, ∴G(-2, 4).
(2)【第一个问出题人坏得很, 用“以A, E, F, H为顶点的四边形是矩形”这样的语句来误导考生以为这个矩形有多种情形。其实只有一种情形。因为AE垂直于AF，所以EF一定是矩形的对角线。而EH是AF的对边，它们互相平行，所以EH的斜率等于AF的斜率-1/2】
①设EH解析式为y=-x/2+h, 代入E(e,2e+4), 得2e+4=-e/2+h,
解得h=5e/2+4,∴H(0, 5e/2+4),
∵AE⊥AF，∴EF是矩形的对角线，
【注意，此时EF和AH互相平分，所以它们的中点是同一点，因此横坐标相同，纵坐标也相同，列为等式如下，它们是关于e的两个方程，方程的根必须相同，否则就没有正确的答案】
e=-4/2=-2且(2e+4-e/2-6)/2=(-4+5e/2+4)/2,
解得：e=-2, ∴E(-2,0), H(0,-1).
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【最后一个问属于阿氏圆问题，在老黄之前的作品中有专门介绍过。这个图很复杂，去掉干扰因素，如下图：】
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②在AE上取一点D，连接MD，使△AEM∽△MED,
AE=根号((-4+2)^2+(-4)^2)=2根号5，EH=根号(2^2+1^2)=根号5，
AM/MD=AE/EM=AE/EH=2, ∴MD=AM/2，
又ED=EM/2=根号5/2, AD=AE-ED=3根号5/2，AC=根号((-4)^2+(-6+4)^2)=2根号(5),
当C, M, D三点共线时,
AM/2+CM=MD+CM=CD= 根号(AC^2+AD^2)=5根号5/2最小.
你觉得这道题复不复杂，难不难呢？

发表于 2024-11-4 16:21:19

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发表于 2024-11-4 16:22:25

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